La spirale di Eulero-Clotoide e la successione di Fibonacci - Spiegazioni

Ciao a tutti e benvenuti in questo nuovo post!

In questi giorni ho voluto provare a realizzare un nuovo modello giocando con la matematica, stavolta come già anticipato dal titolo, sfruttando la successione di Fibonacci. Questa idea di sperimentare le spirali utilizzando la successione dei numeri me l'ha data la mia amica Creativa ,Cosmosicula che anche lei come me ha una passione per i modelli matematici a crochet, per vedere cosa realizza, questo è il suo blog https://cosmosiculascreations.wordpress.com/.
Nel corso di una delle nostre conversazioni uncinettose,  mi comunicava che stava sperimentando la stessa sequenza numerica e aveva ottenuto una forma simile a una vongola, e mi incoraggiò a sperimentarla, però mi sono uscite forme diverse dalla sua, e lo vedrete qui di seguito in questo post. Questo dimostra che come con la stessa sequenza numerica è possibile ottenere risultati molto differenti.

Intanto Ecco alcune informazioni al riguardo:

''In matematica, la successione di Fibonacci, indicata con  o con , è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione  e . Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:
      F1 =1

${\displaystyle F_{2}=1,}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ (per ogni n>2)

Gli elementi ${\displaystyle F_{n}}$ sono anche detti numeri di Fibonacci.

I primi termini della successione di Fibonacci sono: ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dots }$

La successione prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo da Pisa o Fibonacci.

In Botanica , per esempio I numeri di Fibonacci sono presenti anche in altre piante come il girasole; difatti i piccoli fiori al centro del girasole (che è in effetti una infiorescenza) sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario.

La disposizione dei fiori nelcapolino del girasole

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.

I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi come il Broccolo romanesco.

Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l'una con l'altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata, spesso questo numero è un numero di Fibonacci, e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci.

Nel corpo umano

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore.

Nell'arte

La spirale di Fibonacci, creata mediante l'unione di quadrati con i lati equivalenti ai numeri della successione di Fibonacci.

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d'arte.

Secondo Pietro Armienti, docente all'Università di Pisa ed esperto di petrologia (scienza delle rocce), le geometrie presenti sulla facciata della chiesa pisana di San Nicola sarebbero un chiaro riferimento alla serie del matematico.^[17]

Mario Merz li ha usati nell'installazione luminosa denominata Il volo dei numeri, su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino. Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa, inoltre, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997. '' Fonti e immagini tratti da Wikipedia

E.. a Crochet?

Nella mia sperimentazione con l'uncinetto, portata dalla curiosità, per ottenere quella spirale famosa mi sono ritrovata a realizzare delle conchiglie, proprio quelle che si trovano sulla spiaggia. Vediamo di seguito due modelli.

FIBONACCI: 

1) La conchiglia a spirale stretta

Per ottenere questa forma ho fatto un cerchio magico facendo 4 maglie basse.

Successivamente ho realizzato gli aumenti per ogni giro seguendo la successione di Fibonacci senza mai fermarmi:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ....

Esempio primo giro: 3 catenelle,una maglia alta ,un aumento, una maglia alta, un aumento., eccetera. 

Si avvolgerà naturalmente in una spirale. Per non confondervi usate un fermapunti per segnarvi l'inizio del giro, ma potete benissimo individuarlo quando vedete che nel giro precedente, leggete che risulta la stessa sequenza di aumenti e significa che è ora di iniziare la sequenza successiva. Evidenziate la spirale con giri di maglie basse con un filo più fino dello stesso colore.

2) La conchiglia a spirale aperta

In questo modello ho voluto giocare un pò con i numeri di Fibonacci, ovvero ripetendo più volte più giri di una stessa sequenza. Ho iniziato facendo due maglie basse chuse a cerchio, poi 3 catenelle e poi ho iniziato la sequenza partendo da un aumento ogni maglia, e per far venire l'estremità più allungata l'ho ripetuta per  un paio di volte ( potete allungarla anche di più), e così via seguendo sempre la stessa successione di numeri.

Queste per adesso le mie sperimentazioni su Fibonacci, ma l'argomento è vasto e non escludo un ritorno sul tema.

La Spirale Di Eulero o Clotoide

''è una curva la cui curvatura varia linearmente lungo la sua lunghezza, studiata per la prima volta probabilmente da Johann Bernoulli intorno al 1696.^[1] Il nome deriva da una delle mitiche Parche greche, Cloto (le altre due sono Lachesi e Atropo), che avvolgeva il filo dell'esistenza di ogni persona attorno a due fusi: la curva ricorda infatti un filo avvolto tra due fusi rappresentati dai centri delle due spirali.''

fonti wikipedia

Fonte schema: https://www.ravelry.com/patterns/library/ammonite-fossil

Per realizzarla vi occorre sapere:

Filato a piacere con numero di uncinetto corrispondente

E' importante dall'inizio alla fine lavorare Sempre in Back Loop cioè non prendendo tutta la maglia ma solo la parte posteriore, così da creare l'effetto costina.

Pattern: 

Fare 3 catenelle.

Giro 1: lavora dalla seconda maglia dall'uncinetto, in totale  2 maglie basse, una catenella e gira il lavoro.

Giro 2: un aumento, e una maglia bassa, (tre maglie basse totali), 1 catenella e gira il lavoro.

Giro 3: 3 maglie basse, 1 catenella e gira il lavoro

Giro 4: una maglia bassa, un aumento, una maglia bassa, una catenella e gira il lavoro.

Giro 5: 4 maglie basse, una catenella e gira il lavoro.

Eccetera, eccetera.... finchè non arrivate a 30 giri o anche di più a seconda di quanto lo volete grande, aumentando tra un giro e l'altro, quindi alla prossima ( nel sesto giro) farete una maglia bassa, un aumento e poi ancora maglie basse singole dove ne rimane da fare, catenella e girate il lavoro, poi farete nella prossima ancora 5 maglie basse normali. E così via per il resto dei giri. 

ARRIVATI ALLA FINE NON SPEZZATE IL FILO.

Avete perciò a questo punto un lungo triangolo come questo: 

Unite le due parti con le maglie bassissime, non fatene troppe, nè troppo strette, manetente nel farle una tensione flessibile perchè il lavoro deve essere malleabile, otterrete un cono ( vedi foto)

 Avvolgete a questo punto il cono e mentre lo fate cucite le parti da unire con ago da lana con un filo più o meno dello stesso colore più fino. Nascondete i fili.

Giratelo nel senso opposto e Il risultato sarà questo:

Se volete chiudere la forma potete benissimo fare un cerchio che arrivi alla stessa grandezza dell'apertura e cucirlo.

Spero che questo post vi sia piaciuto, vi invito a condividerlo

 e alla prossima con nuovi modelli matematici.

Rita

Dietro ogni tutorial, ci sono ore di lavoro, di traduzione e di studio.

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2014-2020 movimento del crochet iperbolico italiano

L'icosaedro e l'icosaedro Iperbolico - Modelli geometrici a crochet

Benvenuti in questo nuovo post!
Oggi voglio proporvi l'ultimo mio studio a uncinetto fatto su un'altra forma geometrica da normale a iperbolica, sto parlando dell'icosaedro. 

Diamo una breve definizione innanzi tutto di icosaedro: ''In geometria l'icosaèdro (dal latino icosahedrum, dal greco eikosi, che significa venti, e edra, che significa base) è un qualsiasi poliedro con venti facce. Con il termine icosaedro si intende però generalmente l'icosaedro regolare: nell'icosaedro regolare, le facce sono triangoli equilateri.''

L'area della superficie A ed il volume V di un icosaedro regolare i cui spigoli hanno lunghezza a sono date dalle seguenti formule:

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2},}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a^{3}.}$

L'Icosaedro di Euclide

Fonti Wikipedia

Da questa definizione pertanto per realizzare un modello 3D di un icosaedro ho iniziato a fare dei triangoli equilateri a uncinetto.

Esempio di triangolo equilatero a uncinetto

Per realizzare il triangolo equilatero ho eseguito questa serie di procedure:

Primo giro: fare 2 catenelle, nella seconda catenella dall'uncinetto fare 2 maglie basse, 1 catenella e girate il lavoro.

Secondo giro: fare 1 maglia bassa nella prima maglia, 2 maglie basse nella seconda, 1 catanella e girate il lavoro.

Terzo giro:  Fare una maglia bassa nelle prime due maglie e nella terza fare 2 maglie basse, 1 catenella e girate il lavoro.

Quarto giro: Fare maglie basse per tutto il giro eccetto l'ultima maglia dove farete 2 maglie basse e una catenella, girate il lavoro.

Per i prossimi giri: Ripetete ciò che avete fatto nel quarto giro finchè non raggiungerete la misura desiderata del vostro triangolo.

Per realizzare l'icosaedro è necessario realizzare 20 triangoli.

Una volta fatti iniziate ad assemblarli con ago da lana e filo di cotone di scozia, basatevi sulla immagine. Imbottite la forma con ovatta o filati di scarto.

Questo è il modello che ho realizzato evidenziando le giunture in azzurro, in questo caso i miei triangoli misuravano 9cm per lato con un numero totale di 16 giri:

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L'icosaedro Iperbolico

Questo è un disegno matematico dell'icosaedro iperbolico, quando mi ci sono imbattuta ho detto.. WOW| devo provare a capire come si può ottenere un modello come questo, reale! Non esistendo uno schema ho dovuto studiarlo da sola, così il mio studio è partito dalla osservazione dell'immagine e dopo un pò di lavoro sul triangolo la riflessione finale è stata questa:

nel modello iperbolico le punte dei triangoli si allungano notevolmente, diventano iperboliche, sporgendo all'esterno, permettendo al triangolo di curvare naturalmente.

Proverò a spiegarvi con uno schema come allungare le punte del triangolo:

per estendere le punte ho lavorato sia sulle maglie che sui bordi del triangolo. 

I numeri segnalano da dove dovete partire.

Punta in alto:

Tre maglie basse sul bordo come indicato , quindi in corrispondenza dei primi tre giri, fate due maglie basse in cima, girate il lavoro e fate una maglia bassa nella prima maglia delle due. Fermate il filo dietro.

Punta a Sinistra: 

Dalle zone indicate partite con due maglie basse e nella terza sullo spigolo fate 2 maglie basse, girate il lavoro e fate una maglia bassa. Fermate il filo dietro.

Punta a Destra:  

iniziate con due maglie basse dove indicato in foto, alla terza sullo spigolo fate 2 maglie basse, girate il lavoro e fate una maglia bassa.

Fate 20 di questi triangoli particolari, cuciteli, imbottite e il risultato finale sarà così:

questo è il modello che ho realizzato facendo 12 giri totali dei triangoli, usando un filato acrilico, viene molto più scultoreo.

Fare questo modello mi ha divertita molto! 

Spero che questo esperimento iperbolico vi sia piaciuto, 

A presto con il prossimo modello!

Rita

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